BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU ~ PENDIDIKAN MATEMATIKA

A. PERSAMAAN UMUM GRAFIK, GRADIEN DAN SUDUT INKLINASI

1. PERSAMAAN UMUM GRAFIK
Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya.

Sebuah garis disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai:

untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil
Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh:

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut;

Langkah 1.

Subtitusikan titik A, B, dan C ke dalam persamaan kurva

· Melalui titik A(1,2)

A(1) + B(2) + C = 0

A + 2B + C = 0 ...(1)

· Melalui titik B(-3,4)

A(-3) + B(4) + C = 0

-3A +4B + C = 0 ...(2)

· Melalui titik C(5,0)

A(5) + B(0) + C = 0

5A + C = 0

C = -51 ...(3)

Langkah 2.

Subtitusikan (3) ke (1)

A + 2B + C = 0

A + 2B + (-5A) = 0

2B – 4A = 0

2B = 4A

B = 2A ...(4)

Langkah 3.
Subtitusikan (3) dan (4) ke persamaan kurva
Ax + By + C = 0
Ax + 2Ay – 5A = 0
Misalkan: A = 1
x + 2y – 5 = 0

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut:

y = mx + c adalah bentuk umum persamaan garis lurus. Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

PERSAMAAN GARIS LURUS LAIN:

Jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis tersebut maka persamaan garis dapat ditentukan dengan cara mensubtitusikan nilai gradien dan koordinat titik ke dalam persamaan garis bergradien m yaitu y = mx + c. Misalkan garis memiliki gradien m dan melalui titik (x₀, y₀) maka diperoleh persamaan : y₀ = m(x₀) + c selanjutnya dapat diselesaikan dengan tahapan berikut:

Persamaan yang diperoleh dinamakan persamaan garis bergradien m dan melalui sebuah titik (x₀, y₀). Untuk dapat menggambarkan garis maka perlu ditentukan sudut inklinasi garis tersebut dengan menggunakan rumus α = arc tan m

PERSAMAAN GARIS LURUS LAIN:

Identifikasi masalah :

Misalkan sebuah garis y = mx + c dilalui titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) maka persamaan garis nya:

2. GRADIEN

Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut.

Gambar 1. Kemiringan Garis

Garis tersebut melalui dua titik yaitu P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂). Sudut yang dibentuk garis P₁P₂ adalah α. Pada gambar terlihat sebuah segitiga sikusiku dengan hipotenusa P₁P₂, panjang sisi alas x₂ - x₁ dan panjang sisi tegak y₂ - y₁. Nilai tangent sudut α dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan,

Telah dibahas diatas bahwa gradien dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Adapun gradien-gradien tersebut dalam terlihat dari bentuk grafiknya,

Grafik dengan gradien bernilai positif

Gambar 2. Gradien Bernilai Positif

Grafik dengan gradien bernilai negatif

Gambar 3. Gradien Bernilai Negatif

Grafik dengan gradien bernilai nol

Gambar 4. Gradien Bernilai Nol

Grafik dengan gradien bernilai tak terdefinisi

Gambar 5. Gradien Bernilai Tak Terdefinisi

3. SUDUT INKLINASI

Sudut inklinasi garis (angle of inclination) adalah sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dan biasanya dinotasikan oleh sudut α

Telah dijelaskan pada gradien, bahwa nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Pada x positif

Gambar 6. Sudut Inklinasi

Pada x negatif

Gambar 7. Sudut Inklinasi

B. PERSAMAAN NORMAL SEBUAH GARIS

Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0). Perhatikan gambar 8.

Gambar 8. Garis Normal

Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis AB yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis OR di mana O(0, 0) dan R titik pada garis AB. Besar sudut α menyatakan ukuran sudut inklinasi garis OR. Garis OR disebut garis normal dari garis AB. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis OR.

Dari gambar diketahui: