BAB V VEKTOR PADA BIDANG DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

A. VEKTOR PADA BIDANG

Gambar 1. Vektor

Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

dalam literaturad beberapa simbol untuk wakil vektor antara lain

1.      Dengan satu huruf kecil a,b,c,... yang dicetak tebal, atau

2.  Dengan dua huruf besar dengan tanda anak panah di atasnya. Anak panah tersebut menyatakan arah, misalnya. vektor AB, Vektor ini dimaksudkan vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B. Vektor ini dinamakan vektor bebas.

Suatu vektor yang titik pangkal tertentu dan vektor-vektor vekor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu dinamakan vektor posisi.

Gambar 2. Vektor Posisi

VEKTOR PADA KOORDINAT KARTESIUS

Gambar 3. Vektor Pada Koordinat Kartesius

PENJUMLAHAN VEKTOR

1.      Cara Jajaran Genjang 

Penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan mengimpitkan kedua pangkal vektor tersebut, kemudian buat garis yang panjangnya masing-masing sama dengan panjang vektor semula sehingga membentuk jajaran genjang. Maka hasil dari penjumlahan kedua vektor tersebut adalah vektor yang pangkalnya pada titik pangkal kedua vektor tersebut dan ujungnya adalah pada perpotongan kedua garis tersebut.

Gambar 4. Penjumlahan Vektor cara Jajar Genjang

b. Cara Segitiga

Impitkan titik ujung vektor a dengan titik pangkal vektor b, maka vektor hasil penjumlahannya adalah vektor yang bertitik pangkal di a dan titik ujungnya di b.

Gambar 5. Penjumlahan Vektor cara Segitiga

PENGURANGAN VEKTOR

Lawan dari vektor a adalah vektor –a, yang mempunyai besar yang sama dengan a tapi berlawanan arah. Maka pengurangan vektor adalah dengan menjumlahkan dengan lawan vektor kedua, yaitu  a – b = a + (-b)

Contoh:

PERKALIAN VEKTOR

Contoh:

Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Vektor:

1. a + b = b + a

2. a + (b + c) = (a + b) + c

3. a + b = c    jika dan hanya jika b = c – a

4. a + 0 = a, a – a = 0

5. k(sb) = (ks)b = b(ks)

6. k(a + b) = ka + kb

7. (k + s)a = ka + sa

8. 1a = a

PERSAMAAN VEKTOR UNTUK SUATU GARIS LURUS

Perhatikan gambar, diketahui titik D(d_1,d₂) dan sebuah vektor u = <u₁,u₂>

Gambar 6. Persamaan Vektor Suatu Garis

Kita akan menentukan persamaan vektor garis l yang melalui titik D dan sejajar dengan u. Vekor posisi titik D terhdap titik O adalah < d_1,d₂> = d.

Ambil sembarang titik W(x,y) pada garis l, maka vektor letak titik W terhadap O adalah w = <x,y>

Perhatikan bahwa,

Karena garis l sejajar u dan vektor DW pada l, maka vektor DW sejajar u sehingga ada bilangan real(skalar) k sedemikian hingga,

Persamaan diatas disebut persamaan vektor gais yang memalui titik D dan sejajar dengan u.

Contoh:

Tentukan persamaan vektor suatu garis yang melalui A(3,-5) dan B(1,2) dan tentukan persamaan kartesiusnya

Gambar 8. Contoh Soal

Persamaan kartesius

PERSAMAAN VEKTOR SUATU LINGKARAN

1. Lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r

Gambar 9. Persamaan Vektor Pada Lingkaran berpusat di (0,0)

persamaan vektor nya adalah,

2. Lingkaran berpusat di P(a,b) dan berjari-jari r

Gambar 10. Persamaan Vektor Pada Lingkaran berpusat di (a,b)

Persamaan Vektor nya adalah,

B. PERSAMAAN PARAMETRIK

Persamaan parametrik suatu kurva daoat dinaytakan ke dalam persamaan kartesius dengan cara menlenyapkan parameternya, untuk melenyapkan paramternya, kadang menggunakan cara subtitusi atau menggunakan hubungan parameternya.

Setiap persamaan kartesius apat dinyatkan sebagai persamaan parameter dan sebaliknya kadang-kadang suatu kurva dapat dinyatakan dengan persamaan parameter syang sederhana, tetapi jika dinyatakan dalam persamaan kartesis menjadi lebih rumit. Kurva dari suatu persamaan parametrik merupakan kurva berarah.

Bentuk umum persamaan parametrik dari suatu kurva bidang adalah

Dengan:

a , b € R dan t parameternya.