BAB VI KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

A. KOORDINAT KARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI

Patokan mula yang diambil dalam koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus saling tegak lurus yang di namakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, II,...VIII.

Gambar 1. Koordinat Kartesius Ruang Dimensi Tiga

Ket:

Sumbu x = absis

Sumbu y = ordinat

Sumbu z = aplikat

Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy

Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berada dibawah bidang xy

POSISI TITIK PADA KOORDINAT KARTESIUS RUANG DIMENSI

Gambar 2. Posisi Titik Pada Koordinat Kartesius Ruang Dimensi Tiga

Titik O(0,0) disebut titik asal. Setiap pada sumbu x, ordinat dan aplikatnya nol, sedang suatu yang terletak pada bidang xy, aplikatnya nol.

Untuk menggambar sebuah titik, kita tidak perlu menggambar balok, tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, ordinat dan aplikatnya.

JARAK ANTAR TITIK PADA RUANG DIMENSI TIGA

Gambar 3. Jarak Antar Titik

Rumus jarak antara A(x₁, y_1, z₁) dan C(x₂, y_2, z₂)

B. VEKTOR PADA RUANG DIMENSI

Gambar 4. Vektor pada koordinat kartesius dimensi tiga

Dalam ruang-ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat dan aplikat. Misalnya B(x₁, y_1, z₁). Vektor posisi (terhadap titik O) untuk titik B adalah a = < x₁, y_1, z₁> = x₁i, y₁j_, z₁k.

Vektor-vektor basis i,j,k berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif dan z positif.

Semua sifat penjumlahan vekotr dan perkalian vekotr dengan skalar yang berlaku dalam bidang datar juga berlaku untuk vektor dalam ruang dimensi tiga.

PANJANG VEKTOR

Jika a = < x₁, y_1, z₁> maka panjang vektor a adalah,

PERKALIAN TITIK PADA VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃>, maka perkalian titiknya didefinisikan sebagai berikut

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi

Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,

PERKALIAN VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃> maka perkalian kedua vektor adalah,

HASIL KALI SILANG DUA VEKTOR

Perkalian silang dua vektor a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k didefinisikan sebagai berikut,

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

C. PERSAMAAN BIDANG DATAR

Persamaan linier bidang datar ialah,

Dengan A, B, C ≠ 0

Persamaan umum bidang yag melalui P(x₁, y_1, z₁) dan tegak lurus pada vektor n = <A,B,C> adalah

Jika diketahui dua bidang, yaitu A₁x + B₁y + C₁z = D dan A₂x + B₂y + C₂z = D, maka:

1.Jika θ adalah suatu sudut antara dua bidang ini, maka

 2.      Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila

3.      Dua bidang tersebut sejajar, apabila

 4.      Dua bidang tersebut berimpitan, apabila

Jika d adalah jarak titik P(x₁, y_1, z₁) ke bidang Ax + By + Cz = D maka

Contoh:

Persamaan bidang yang melalui P(1,2,3) dan tegak lurus n = <3,2,1> adalah

Maka, persamaan bidangnya,

TUGAS

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut:

Bidang P(1,2,3) Tegak Lurus dengan vektor n = <3,2,1>

Penyelesaian:

untuk

Titik potong terhadap sumbu x, maka z = 0

x = 6

sehingga (6,0,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = 0

z = 3

sehingga (0,0,3)

untuk

Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0

x = 4

sehingga (4,0,0)

Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0

y = -2

sehingga (0,-2,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0

z = 2

sehingga (0,0,2)

Dari persamaan bidang (1,2,3) tegak lurus vektor n = <3,2,1> didapatlah persamaannya:

Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0

x = 3,3

sehingga (3,3;0;0)

Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0

y = 5

sehingga (0,5,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0

z = 10

sehingga (0,0,10)

Dari penyelesaian di atas, terbentuklah tiga bidang, dan tiga bidang tersebut bertemu di suatu titik, maka dapat disimpulkan bahwa tiga bidang yang terbentuk memiliki titik potong.