A. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Sistem koordinat kartesius diciptakan oleh filsuf dari Perancis, bernama Descartes yang ia jelaskan dalam bukunya (Smith & Lathan 1957). Istilah Kartesius sendiri istilah latin dari Descartes yang mana digunakan untuk mengenang beliu yang membuat peranan besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri.
Dalam geometri analitik, akan mengkajian objek-objek geometri menggunakan sistem koordinat kartesius dengan menggunakan konsep geometri dan aljabar sekaligus.
Gambar 1. Sistem koordinat kartesius
Terlihat dari gambar 1, terdapat dua garis yang saling tegak lurus, satu garis digambar secara horizontal (mendatar) dan yang lain digambar secara vertikal (tegak). Terdapat titik potong dua garis tersebut yang disebut titik asal.
Garis mendatar disebut sumbu x. Pada sumbu x, terdapat dua bagian, yang pertama sumbu x positif yang dimulai dari titik 0 ke kanan, sedangkan dari titik 0 ke kiri dinamakan sumbu x negatif dimulai dari 0 ke kiri.
Garis tegak disebut sumbu y. Pada sumbu y, terdapat dua bagian pula, yang pertama sumbu y positif yang dimulai dari titik 0 ke atas, sedangkan dari titik 0 ke bawah dinamakan sumbu y negatif dimulai dari 0 ke kiri.
Gambar 2. Contoh penyajian titik-titik pada sistem
koordinat kartesius
Segitu
pula dengan titik B yang terletak 2 satuan ke kiri (arah negatif) dari sumbu y dan
2 satuan ke atas (arah positif) dari sumbu x dan ditulis B(-2,2). Panjang OR
menyatakan absis (absisca) titik B. Panjang BR = OS menyatakan
ordinat (ordinate) titik B.
Sumbu-sumbu
koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang
masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kudaran II, kuadran III, dan
kuadran IV.
Gambar 3. Daerah kuadran pada sistem koordinat kartesius
B. TITIK
Titik merupakan suatu objek yang tidak memiliki besaran (panjang, tinggi, tebal, dll) namun mempunyai letak/posisi dan biasa di tulis dengan huruf kapital seperti A, B, C, P, dll.
Gambar 4. Posisi titik A pada sistem koordinat
Letak/posisi titik tidak selalu harus pada koordinat. Terlihat pada gambar 5, titik P terletak antara garis a dan garis b.
Gambar 5. Titik P terletak antara garis a dan garis b
1. KEDUDUKAN TITIK-TITIK
Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut,
Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut,
TEOREMA 1.1
Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik A adalah sebuah lingkaran yang berpusat di A dan berjari-jari d.
Gambar 5. Teorema 1.1
TEOREMA 1.2
Kedudukan
titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis a adalah sepasang garis-garis sejajar yang
masing-masing berjarak d dari garis a.
Gambar 6. Teorema 1.2
TEOREMA 1.3
Kedudukan
titik-titik yang berjarak sama dari dua buah titik A dan B adalah sebuah ruas
garis (disebut perpendicular bisector) yang tegak lurus terhadap ruas garis AB dan
membagi AB menjadi dua bagian sama besar.
Gambar 7. Teorema 1.3
TEOREMA 1.4
Kedudukan
titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1
dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan
kedua garis tersebut.
Gambar 8. Teorema 1.4
TEOREMA 1.5
Kedudukan
titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu a dan
b, adalah sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar
sudut-sudut yang yang dibentuk garis a dan b.
Gambar 9. Teorema 1.5
TEOREMA 1.6
Kedudukan
titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas
garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle).
Gambar 10. Teorema 1.6
TEOREMA 1.7
Kedudukan
titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric
circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran
tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.
TEOREMA 1.8
Kedudukan
titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari
lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran
konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu
sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
Gambar 12. Teorema 1.8
TEOREMA 1.9
Kedudukan
titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang
dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran
pertama dan saling konsentris.
Gambar 13. Teorema 1.9
2. JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR
Gambar 14. Posisi dua titik pada bidang datar yang memiliki jarak
Pada gambar 14, dua
buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik
tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1) Buatlah
dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.
2) Buat
sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua
garis berpotongan tegak lurus.
3) Tentukan
titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau
BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB
4) Tentukan
panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras:
Lalu, kita misalkan koordinat titik A(x1, y1)
dan B(x2, y2) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku
ABC dengan titik C(x2, y1) seperti pada gambar 15.
Gambar 15.
Maka jarak titik A dan B yaitu,
0 komentar:
Posting Komentar