A. LINGKARAN

A.  LINGKARAN

Irisan kerucut yang pertama yaitu lingkaran. Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Gambar 1. Lingkaran

Misal sebuah lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-jari 3

Gambar 2. Lingkaran dengan jari-jari 3

Lingkaran tersebut melalui titik-titik:

Sehingga, di dapat

A = 1,  B = 1,  D = 0,  E = 0, F = -9

Lingkaran tadi juga melalui titik,

Sehingga, kita subtitusikan ke persamaan umum kurva derajat dua,

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN TITIK PUSAT DAN JARI-JARI DIKETAHUI

 Gambar 3. Lingkaran dengan jari-jari r

Persamaan lingkaran yaitu,

Jika lingkaran berpusat di (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan umum kurva berderajat dua:

Merupakan persamaan lingkaran jika,

Contoh:

Sebuah lingkaran  melalui (5,1) berpusat di (-1,0), maka persamaan lingkarannya

GARIS SINGGUNG (TANGENT) LINGKARAN

Gambar 4. Garis l adalah garis singgung lingkaran A

AB = jari-jari lingkaran

l = garis singgung lingkaran di B

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM

Gambar 5. Garis Singgung Persekutuan Dalam

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR

Gambar 6. Garis Singgung Persekutuan Luar

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Contoh: Tentukan persaman garis singgung lingkaran dengan persamaan x² + y² = 25 yang sejajar garis y = 2x + 3

Identifikasi masalah:

Persamaan lingkaran x² + y² = 25 à lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari r

Misal garis h : y = 2x + 3 à m_h = 2

Misal garis singgung lingkaran k dan k sejajar h à m_h = m_k = 2

maka, k : y = 2x + c

Data yang dibutuhkan adalah titik singgung agar nilai c di peroleh

Strategi pemecahan masalah: mencari titik singgung dengan sketsa masalah

Gambar 7.

Subtitusikan pers. y = 2x + c dan x² + y² = 25

 

Contoh 1:

Diketahui persamaan (x-2)² + (y-3)² = 16. Apakah A(5,-4) berada di dalam, di luar atau pada lingkaran?

Subtitusi A(5,-4) ke (x-2)² + (y-3)² = 16 sehingga di peroleh,

(5-2)² + (-4-3)² = 3² + 7² = 56

Karena, 56 > 16 artinya A(5,-4) berada di luar lingkaran

Diketahui: persamaan lingkaran x² + y² = r² dar titik B(x₀,y₀) dapat dibuat dua garis singgung S₁(x_1,y₁) dan S₂(x_2,y₂)

Maka, S₁ dan S₂ disebut tali busur singgung yaitu garis yang menghubungkan dua titik singgung

Maka persamaan garis kutub B(x₀,y₀) terhadap x² + y² = r² adalah

Sifat garis kutub:

1.  Menghubungkan dua titik singgung dari garis-garis yang berpotongan di (x₀,y₀)

2. Tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan (x₀,y₀) dan titik pusat lingkaran

Hubungan  dua garis singgung lingkaran

Gambar 8. Dua Garis Singgung Saling sejajar

Gambar 9. Dua Garis Singgung Berpotongan

(