A. LINGKARAN

A.  LINGKARAN

Irisan kerucut yang pertama yaitu lingkaran. Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Gambar 1. Lingkaran

Misal sebuah lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-jari 3

Gambar 2. Lingkaran dengan jari-jari 3

Lingkaran tersebut melalui titik-titik:

Sehingga, di dapat

A = 1,  B = 1,  D = 0,  E = 0, F = -9

Lingkaran tadi juga melalui titik,

Sehingga, kita subtitusikan ke persamaan umum kurva derajat dua,

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN TITIK PUSAT DAN JARI-JARI DIKETAHUI

 Gambar 3. Lingkaran dengan jari-jari r

Persamaan lingkaran yaitu,

Jika lingkaran berpusat di (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan umum kurva berderajat dua:

Merupakan persamaan lingkaran jika,

Contoh:

Sebuah lingkaran  melalui (5,1) berpusat di (-1,0), maka persamaan lingkarannya

GARIS SINGGUNG (TANGENT) LINGKARAN

Gambar 4. Garis l adalah garis singgung lingkaran A

AB = jari-jari lingkaran

l = garis singgung lingkaran di B

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM

Gambar 5. Garis Singgung Persekutuan Dalam

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR

Gambar 6. Garis Singgung Persekutuan Luar

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Contoh: Tentukan persaman garis singgung lingkaran dengan persamaan x² + y² = 25 yang sejajar garis y = 2x + 3

Identifikasi masalah:

Persamaan lingkaran x² + y² = 25 à lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari r

Misal garis h : y = 2x + 3 à m_h = 2

Misal garis singgung lingkaran k dan k sejajar h à m_h = m_k = 2

maka, k : y = 2x + c

Data yang dibutuhkan adalah titik singgung agar nilai c di peroleh

Strategi pemecahan masalah: mencari titik singgung dengan sketsa masalah

Gambar 7.

Subtitusikan pers. y = 2x + c dan x² + y² = 25

 

Contoh 1:

Diketahui persamaan (x-2)² + (y-3)² = 16. Apakah A(5,-4) berada di dalam, di luar atau pada lingkaran?

Subtitusi A(5,-4) ke (x-2)² + (y-3)² = 16 sehingga di peroleh,

(5-2)² + (-4-3)² = 3² + 7² = 56

Karena, 56 > 16 artinya A(5,-4) berada di luar lingkaran

Diketahui: persamaan lingkaran x² + y² = r² dar titik B(x₀,y₀) dapat dibuat dua garis singgung S₁(x_1,y₁) dan S₂(x_2,y₂)

Maka, S₁ dan S₂ disebut tali busur singgung yaitu garis yang menghubungkan dua titik singgung

Maka persamaan garis kutub B(x₀,y₀) terhadap x² + y² = r² adalah

Sifat garis kutub:

1.  Menghubungkan dua titik singgung dari garis-garis yang berpotongan di (x₀,y₀)

2. Tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan (x₀,y₀) dan titik pusat lingkaran

Hubungan  dua garis singgung lingkaran

Gambar 8. Dua Garis Singgung Saling sejajar

Gambar 9. Dua Garis Singgung Berpotongan

(

Read More

BAB III KURVA BERDERAJAT DUA

IRISAN KERUCUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

Sebuah kerucut apabila kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section).

Kurva berderajat dua atau sering juga disebut irisan kerucut, terdiri dari 4 macam bentuk

1. Lingkaran

2. Elips

3. Parabola

4. Hiperbola

Gambar 1. Irisan Kerucut

Irisan kerucut memiliki komponen-komponen sebagai berikut;

1. Esentrisitas (e)

Esentrisitas adalah perbandingan jarak titik fokus ke suatu titik dengan jarak titik tersebut ke garis direktris.

2. Direktris (d)

Direktris adalah sebuah garis yang memiliki jarak terhadap titik fokus

3. Titik Fokus (F)

Gambar 1. Komponen-komponen pada kurva berderajat dua

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ax² + by² + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol.

Read More