BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

A.    PERSAMAAN UMUM GRAFIK, GRADIEN DAN SUDUT INKLINASI

1.      PERSAMAAN UMUM GRAFIK
Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya.

Sebuah garis disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai:

untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil
Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh:

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut;

Langkah 1.

Subtitusikan titik A, B, dan C ke dalam persamaan kurva

·         Melalui titik A(1,2)

·         Melalui titik A(1,2)

A(1) + B(2) + C = 0

A + 2B + C = 0             ...(1)

·         Melalui titik B(-3,4)

A(-3) + B(4) + C = 0

-3A +4B + C = 0          ...(2)

·         Melalui titik C(5,0)

A(5) + B(0) + C = 0

5A + C = 0       

C = -51                          ...(3)

Langkah 2.

Subtitusikan (3) ke (1)

A + 2B + C = 0

A + 2B + (-5A) = 0

2B – 4A = 0

2B = 4A

B = 2A                                  ...(4)

Langkah 3.
Subtitusikan (3) dan (4) ke persamaan kurva
Ax + By + C = 0
Ax + 2Ay – 5A = 0
Misalkan: A = 1
x + 2y – 5 = 0

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut:

y = mx + c adalah bentuk umum persamaan garis lurus. Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

PERSAMAAN GARIS LURUS LAIN:

Jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis tersebut maka persamaan garis dapat ditentukan dengan cara mensubtitusikan nilai gradien dan koordinat titik ke dalam persamaan garis bergradien m yaitu y = mx + c. Misalkan garis memiliki gradien m dan melalui titik (x₀, y₀) maka diperoleh persamaan : y₀ = m(x₀) + c selanjutnya dapat diselesaikan dengan tahapan berikut:

Persamaan yang diperoleh dinamakan persamaan garis bergradien m dan melalui sebuah titik (x₀, y₀).  Untuk dapat menggambarkan garis maka perlu ditentukan sudut inklinasi garis tersebut dengan menggunakan rumus α = arc tan m

PERSAMAAN GARIS LURUS LAIN:

Identifikasi masalah :

Misalkan sebuah garis y = mx + c dilalui titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) maka persamaan garis nya:

2.        GRADIEN

Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut.

Gambar 1. Kemiringan Garis

Garis tersebut melalui dua titik yaitu P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂). Sudut yang dibentuk garis P₁P₂ adalah α. Pada gambar terlihat sebuah segitiga sikusiku dengan hipotenusa P₁P₂, panjang sisi alas x₂ - x₁ dan panjang sisi tegak y₂ - y₁. Nilai tangent sudut α dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan,

Telah dibahas diatas bahwa gradien dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Adapun gradien-gradien tersebut dalam terlihat dari bentuk grafiknya,

Grafik dengan gradien bernilai positif

Gambar 2. Gradien Bernilai Positif

Grafik dengan gradien bernilai negatif

Gambar 3. Gradien Bernilai Negatif

Grafik dengan gradien bernilai nol

Gambar 4. Gradien Bernilai Nol

Grafik dengan gradien bernilai tak terdefinisi

Gambar 5. Gradien Bernilai Tak Terdefinisi

3.  SUDUT INKLINASI

Sudut inklinasi garis (angle of inclination) adalah sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dan biasanya dinotasikan oleh sudut α

Telah dijelaskan pada gradien, bahwa nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Pada x positif

Gambar 6. Sudut Inklinasi

Pada x negatif

Gambar 7. Sudut Inklinasi

B.    PERSAMAAN NORMAL SEBUAH GARIS

Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0). Perhatikan gambar 8.

Gambar 8. Garis Normal

Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis AB yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis OR di mana O(0, 0) dan R titik pada garis AB. Besar sudut α menyatakan ukuran sudut inklinasi garis OR. Garis OR disebut garis normal dari garis AB. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis OR. 

Dari gambar diketahui:

PERSAMAAN NORMAL SEBUAH GARIS:

Dengan nilai p,

PERSAMAAN GARIS NORMAL:

Garis normal adalah yang melalui titik (0,0) dan tegak lurus sb. x dan sb. y. Perhatikan gambar 8 garis normal dari gambat tersebuat adalah garis OR

Garis normal memiliki persamaan:

SUDUT ANTARA DUA GARIS BERPOTONGAN

Gambar 9. Sudut antara Dua Garis Berpotongan

Gradien garis g = m_g à α_g = arc tan m_g

Gradien garis h = m_h à α_h = arc tan m_h

Sudut antara 2 garis berpotongan:

Read More

BAB I TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

A. SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Sistem koordinat kartesius diciptakan oleh filsuf dari Perancis, bernama Descartes yang ia jelaskan dalam bukunya (Smith & Lathan 1957). Istilah Kartesius sendiri istilah latin dari Descartes yang mana digunakan untuk mengenang beliu yang membuat peranan besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri.

Dalam geometri analitik, akan mengkajian objek-objek geometri menggunakan sistem koordinat kartesius dengan menggunakan konsep geometri dan aljabar sekaligus.

Gambar 1. Sistem koordinat kartesius

Terlihat dari gambar 1, terdapat dua garis yang saling tegak lurus, satu garis digambar secara horizontal (mendatar) dan yang lain digambar secara vertikal (tegak). Terdapat titik potong dua garis tersebut yang disebut titik asal.

Garis mendatar disebut sumbu x. Pada sumbu x, terdapat dua bagian, yang pertama sumbu x positif yang dimulai dari titik 0 ke kanan, sedangkan dari titik 0 ke kiri dinamakan sumbu x negatif dimulai dari 0 ke kiri.

Garis tegak disebut sumbu y. Pada sumbu y, terdapat dua bagian pula, yang pertama sumbu y positif yang dimulai dari titik 0 ke atas, sedangkan dari titik 0 ke bawah dinamakan sumbu y negatif dimulai dari 0 ke kiri.

Dua garis yang saling tegak lurus pada sistem koordinat kartesius ini dinamakan sistem koordinat kartesius tegak lurus. Sistem koordinat ini digunakan untuk menentukan letak/posisi suatu titik pada bidang datar.

Gambar 2. Contoh penyajian titik-titik pada sistem koordinat kartesius

Pada gambar 2, titik A terletak 3 satuan ke kanan (arah positif) dari sumbu y dan 4 satuan ke atas (arah positif) dari sumbu x dan ditulis A(3,4). Panjang OP menyatakan absis (absisca) titik A. Panjang AP = OQ menyatakan ordinat (ordinate) titik A.

Segitu pula dengan titik B yang terletak 2 satuan ke kiri (arah negatif) dari sumbu y dan 2 satuan ke atas (arah positif) dari sumbu x dan ditulis B(-2,2). Panjang OR menyatakan absis (absisca) titik B. Panjang BR = OS menyatakan ordinat (ordinate) titik B.

Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kudaran II, kuadran III, dan kuadran IV.

Gambar 3. Daerah kuadran pada sistem koordinat kartesius

B. TITIK

Titik merupakan suatu objek yang tidak memiliki besaran (panjang, tinggi, tebal, dll) namun mempunyai letak/posisi dan biasa di tulis dengan huruf kapital seperti A, B, C, P, dll.

 Gambar 4. Posisi titik A pada sistem koordinat

Letak/posisi titik tidak selalu harus pada koordinat. Terlihat pada gambar 5, titik P terletak antara garis a dan garis b.

Gambar 5. Titik P terletak antara garis a dan garis b

1. KEDUDUKAN TITIK-TITIK

Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut,

TEOREMA 1.1

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik A adalah sebuah lingkaran yang berpusat di A dan berjari-jari d.

 Gambar 5. Teorema 1.1

TEOREMA 1.2

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis a  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis a.

Gambar 6. Teorema 1.2

TEOREMA 1.3

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah titik A dan B adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector) yang tegak lurus  terhadap ruas garis AB dan membagi AB menjadi dua bagian sama besar.

Gambar 7. Teorema 1.3

TEOREMA 1.4

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l₁ dan l₂ merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.

Gambar 8. Teorema 1.4

TEOREMA 1.5

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu a dan b, adalah sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis a dan b.

Gambar 9. Teorema 1.5

TEOREMA 1.6

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle).

Gambar 10. Teorema 1.6

TEOREMA 1.7

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.

Gambar 11. Teorema 1.7

TEOREMA 1.8

Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

Gambar 12. Teorema 1.8 

TEOREMA 1.9

Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

Gambar 13. Teorema 1.9

2. JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR

Gambar 14. Posisi dua titik pada bidang datar yang memiliki jarak

Pada gambar 14, dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.

2) Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.

3) Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB

4) Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras:

Lalu, kita misalkan koordinat titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC dengan titik C(x₂, y₁) seperti pada gambar 15.

Gambar 15.

Maka jarak titik A dan B yaitu, 

Read More